MATERI RPL

Selasa, 13 Januari 2015

Materi Matrix Lengkap Kelas X

Apa itu Matriks? Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks. Contoh Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau bisa sobat hitung tulis A(3×4). Macam-Macam Matriks (i) Matriks Nol (O) Dinamakan matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL (ii) Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya Contoh (iii) Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini (iv) Matriks Identitas Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 (v) Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangakr yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol (vi) Matriks Segitiga Bawah Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. (vi) Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol Operasi Pada Matriks Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya: 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Jika A = (aij) m x n dan B = (bij) m x n maka A + B = (aij) m x n + (bij) m x n = (aij + bij) m x n A – B = (aij) m x n – (bij) m x n = (aij – bij) m x n Contoh 2. Perkalian Skalar dengan Matriks Jika skalara dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupkan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. Jika A = (aij) m x n maka k.A = k(aij) m x n = (kaij) m x n Contoh Dari operasi penjumlahan (pengurangan) dan perkalian skalar di atas didapt sfiat sifat asosiatif perkalian skalar terhadap penjumlahan (pengurangan). kA = A.k (komutatif perkalian) k (A + B) = k. A + k. B (asosiatif perkalian terhadap penjumlahan) k (A – B) = k. A – k. B (asosiatif perkaian terhadap pengurangan) 3. Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian. Mudahnya itu sama kaya bari di kali kolom. Agar sobat lebih paham silahkan simak contoh berikut: Transpose Matiks Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan AT. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. Simak contoh berikut: dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contohnya Karena A = At maka A disebut matriks simetri. Determinan Matriks Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan. Contohnya Untuk memahami rumus determinan matriks berordo 3 x 3 diatas, silahkan simak contoh di bawah ini: Determinan dari matriks-matriks khusus Beberapa matriks termasuk dalam matriks khusus dan punya rumus cepat determinanya a. Matriks Diagonal b. Matriks Segitiga Atas c. Matriks Segititga Bawah Invers Matriks Invers hanya dipunyai oleh matriks yang tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A-1 dan secara umum dirumuskan Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Operasi Dasar Matriks : 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak yang sama. representasi dekoratifnya sebagai berikut 2. Perkalian Skalar Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama dan maka contoh perhitungan : Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh : merupakan matriks berordo 3×2 Matriks Identitas Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1 Matriks Transpose (At) Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh : maka matriks transposenya (At) adalah Contoh – contoh : 1. Kesamaan Dua Matriks Tentukan nilai 2x-y+5z! Jawab: maka maka maka 2. 3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel 4. Determinan Suatu Matriks Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara : 1. Misalnya terdapat matriks yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah 2. Metode Sarrus Misalnya terdapat maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi Sebagai contohnya maka tentukan 3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom Jika diketahui maka untuk menentukan determian dari matriks P Matriks Singular Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0. Sebagai contoh Jika A matriks singular, tentukan nilai x! Jawab: vs Invers Matriks Misalnya diketahui maka invers dari matriks A Sifat-sifat dari invers suatu matriks : Persamaan Matriks Tentukan X matriks dari persamaan: • Jika diketahui matriks A.X=B • Jika diketahui matriks X.A=B Sekian penjelasan singkat mengenai Matriks Semoga dapat bermanfaat sebagai referensi matematika yang dapat digunakan setiap saat ketika anda membutuhkan. Untuk referensi lain baca juga Integral Lipat Dua atau Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat yang telah saya berikan sebelumnya. a. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut. b. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada kolom matriks tersebut. c. Matriks Persegipanjang Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n. d. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo n × n. e. Matriks Segitiga Mari kita perhatikan matriks F dan G berordo 4 × 4. Jika terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya: f. Matriks Diagonal Dengan memperhatikan konsep matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks persegi, g. Matriks Identitas Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini. h. Matriks Nol Jika elemen suatu matriks semuanya bernilai . Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya dalam Pemecahan Masalah Penjumlahan Dua Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks adalah sama dengan memiliki ordo yang sama dengan matriks yang dijumlahkan Pengurangan Dua Matriks Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari matriks –B, ditulis: A – B = A + (–B). Matriks –B dalam merupakan matriks yang elemennya berlawanan dengan setiap elemen yang bersesuaian matriks B. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks. Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (–B), (–B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B. Artinya, matriks (–B) dapat kita tulis sebagai: –B = k.B, dengan k = –1. Perkalian matriks dengan matriks untuk penjelasan lebih lanjut mengenai pokok bahasan matriks contoh soal dan penjelasannya silahkan anda download saja materi matematika kelas x kurikulum 2013

Tidak ada komentar:

Posting Komentar